Imagine dois jogadores iguais. Em tese, poderiam simular um jogo de cara ou coroa pra ver quem vence e teríamos a seguinte distribuição para um jogador: em 2/16 vezes ganharia de 3x0; 3/16 vezes ganharia de 3x1 e em outras 3/16 vezes ganharia de 3x2. A distribuição percentual para o vencedor, no cara e coroa, é de 25% (3x0), 37,5% (3x1) e 37,5% (3x2). Mas na vida real o jogo é bem diferente.
Quem ganha o primeiro set não avança apenas na árvore de probabilidades binárias. Ele produz um aumento de chances de ganhar os próximos sets. Isso ocorre por causa de dois fatores. Em primeiro, se ele ganhou o primeiro set, talvez isso seja um sinal de que ele realmente esteja jogando melhor do que seu adversário nesse dia em particular. Em segundo, ao ganhar o primeiro set ele tem sua moral elevada e rebaixa o ânimo do opositor, ganhando pontos percentuais preciosos de chance de ser bem sucedido na partida. No jogo real, as chances mudam pra 36% (3x0), 34% (3x1) e 30% (3x2). Claro que isso muda de jogador pra jogador e é nesse ponto reside o lucro.
De volta ao cara e coroa, a chance de alguém vencer o primeiro set e vencer o jogo é de 11/32 (34,375%), enquanto vencer o primeiro set e perder o jogo é de 5/32 (15,625%). Na prática, no entanto, o percentual sobe no primeiro caso e desce no segundo caso.
Parece intuitivo que haja tie-break num jogo com tamanho equilíbrio. Mas não é verdade. Num set isolado, a chance de que ocorra é um pouco maior do que 1/4. No jogo inteiro, aproximadamente 1/2.
No cara ou coroa, a chance de não haver um quarto set é de 1/4. Na vida real do tênis, é de mais de 1/3 (36% para ser exato).
Por fim, um último dado interessante: a probabilidade de ocorrer mais de 9 games em um determinado set é de 56%.
segunda-feira, 27 de maio de 2013
Tênis: apostas nos games
Podemos imaginar que um game seja decidido nos moldes de um jogo cara ou coroa. Isso não é normal, porque é óbvio que o sacador tem vantagem, mas acontece. Quando um jogador é aproximadamente dez vezes melhor do que o outro (uma probabilidade de 90% de ganhar a partida) e vai receber o saque.
Nesse caso, é fácil fazer uma árvore de probabilidades. Em 1/16 o melhor jogador fechará o set deixando seu adversário com zero. E vice versa. Em 1/8 das vezes quem ganhar deixará o outro com 15. Em 5/32 o ganhador deixa o perdedor com 30. E em 10/32 das vezes o jogo fica em deuce, empatado. Em resumo:
Game x 0: 1/16
0 x Game: 1/16
Game x 15: 1/8
15 x Game: 1/8
Game x 30: 5/32
30 x Game: 5/32
40 x 40: 10/32
Mas o jogo normal, sem grandes discrepâncias, apresenta outros números. Em jogos equilibrados, com dois jogadores do mesmo nível, a chance do sacador converter um ponto (seja no primeiro ou no segundo serviço) é de aproximadamente 62%. Em outras palavras, quem defende o saque tem a chance de fazer o ponto 38% das vezes. Os resultados finais são os seguintes:
Game x 0: 14,8%
0 x Game: 2,1%
Game x 15: 22,5%
15 x Game: 5,2%
Game x 30: 21,3%
30 x Game: 8,0%
40 x 40: 26,2%, sendo 19,0% para o sacador e 7,1% para o sacado. Note que nos empates nos games, a chance do sacador ganhar é de 72,3%, enquanto a do sacado é 27,3%. No cômputo geral, temos 77,6% de chances do sacador converter seu game e 22,4% de perdê-lo. Tudo isso sem imaginar o impacto das variáveis psicológicas que, como sabemos acentuam a probabilidade de que o próximo ponto seja parecido com o anterior (ou seja, há dependência temporal).
Nesse caso, é fácil fazer uma árvore de probabilidades. Em 1/16 o melhor jogador fechará o set deixando seu adversário com zero. E vice versa. Em 1/8 das vezes quem ganhar deixará o outro com 15. Em 5/32 o ganhador deixa o perdedor com 30. E em 10/32 das vezes o jogo fica em deuce, empatado. Em resumo:
Game x 0: 1/16
0 x Game: 1/16
Game x 15: 1/8
15 x Game: 1/8
Game x 30: 5/32
30 x Game: 5/32
40 x 40: 10/32
Mas o jogo normal, sem grandes discrepâncias, apresenta outros números. Em jogos equilibrados, com dois jogadores do mesmo nível, a chance do sacador converter um ponto (seja no primeiro ou no segundo serviço) é de aproximadamente 62%. Em outras palavras, quem defende o saque tem a chance de fazer o ponto 38% das vezes. Os resultados finais são os seguintes:
Game x 0: 14,8%
0 x Game: 2,1%
Game x 15: 22,5%
15 x Game: 5,2%
Game x 30: 21,3%
30 x Game: 8,0%
40 x 40: 26,2%, sendo 19,0% para o sacador e 7,1% para o sacado. Note que nos empates nos games, a chance do sacador ganhar é de 72,3%, enquanto a do sacado é 27,3%. No cômputo geral, temos 77,6% de chances do sacador converter seu game e 22,4% de perdê-lo. Tudo isso sem imaginar o impacto das variáveis psicológicas que, como sabemos acentuam a probabilidade de que o próximo ponto seja parecido com o anterior (ou seja, há dependência temporal).
quarta-feira, 22 de maio de 2013
Distribuição de Poisson no futebol
Muitos sugerem estudar a distribuição de Poisson para entender os números de gols, cestas ou pontos nas apostas esportivas. O problema é que a distribuição dos tentos não é homogênea ao longo do tempo. A função de distribuição irá assumir tal homogeneidade. Por isso é importante ficar atento para os desvios a direita da probabilidade de ocorrências ao longo do tempo de jogo. Os noventa minutos de futebol não são iguais. Quanto mais passa o tempo, maior a probabilidade de ocorrência de gols por minuto. De qualquer forma não é fácil explorar tais informações de forma lucrativa, porque as casas de apostas conhecem muito bem as distribuições corretas.
segunda-feira, 20 de maio de 2013
Comentários sobre o resultado de abril de 2013
Entender o comportamento do investidor no Tesouro Direto, pra mim, sempre foi um mistério que poucos economistas se dedicaram a desvelar. E continua me intrigando. Mesmo com todas as mudanças nos juros futuros, subidas e rotações, as preferências do investidor se alteram pouco. Desde o ano passado, dificilmente caem pra menos de 60% de participação os títulos com mais de cinco anos e atrelados ao IPCA. São títulos mais arriscados que as LFTs, mas continuam muito populares. Talvez o que explique isso seja a percepção (equivocada) dos investidores de que esses títulos embutem menor risco, por se tratarem de prazos longos e presença de indexação. Também entendo que muitos investidores acreditam que aplicar em títulos públicos de longo prazo é uma boa alternativa pra quem está fazendo seu pé de meia pra a aposentadoria.
Bar dá lucro?
Será que abrir um bar dá lucro? Essa é uma dúvida muito popular, porque muitas pessoas gostam do negócio. Vale fazer alguns apontamentos:
— Por ser uma atividade interessante, que garante, eventualmente, prestígio e popularidade para seus donos, isso significa forte competição, porque muitas pessoas, principalmente as mais ricas, que estão interessadas no status, não se importarão em terem pequenos prejuízos ou se verem forçadas a trabalhar em ponto de equilíbrio, sem lucros.
— A distribuição dos lucros entre os competidores é muito desigual. Alguns bares são bem sucedidos em captar uma clientela cativa durante muitos anos e conseguem margens de lucro altas. Enquanto isso, muitos bares simplesmente não conseguem formar clientela grande, mesmo após anos de funcionamento.
— Os custos de se manter um bar no Brasil são muito altos, em razão, principalmente, dos gastos trabalhistas em horários alternativos e do uso limitado dos caros imóveis comerciais disponíveis para esse fim.
— É um setor que sofre muito com a flutuação da economia, por ser uma área em que as pessoas cortam seus gastos rapidamente quando precisam.
As dicas podem ser facilmente enumeradas. Não abra esse negócio se você: 1- não possui uma rede ampla de contatos e proximidade com seu consumidor; 2- não tem capital suficiente para sustentar movimento baixo nos primeiros anos; 3- não gosta muito de bares; 4- não encontrou um bom ponto.
Talvez, para quem é novo no ramo, seja interessante montar um bar de bairro, pequeno, com o seu estilo, pra ver se você se adapta às exigências duras da vida de empresário do ramo.
— Por ser uma atividade interessante, que garante, eventualmente, prestígio e popularidade para seus donos, isso significa forte competição, porque muitas pessoas, principalmente as mais ricas, que estão interessadas no status, não se importarão em terem pequenos prejuízos ou se verem forçadas a trabalhar em ponto de equilíbrio, sem lucros.
— A distribuição dos lucros entre os competidores é muito desigual. Alguns bares são bem sucedidos em captar uma clientela cativa durante muitos anos e conseguem margens de lucro altas. Enquanto isso, muitos bares simplesmente não conseguem formar clientela grande, mesmo após anos de funcionamento.
— Os custos de se manter um bar no Brasil são muito altos, em razão, principalmente, dos gastos trabalhistas em horários alternativos e do uso limitado dos caros imóveis comerciais disponíveis para esse fim.
— É um setor que sofre muito com a flutuação da economia, por ser uma área em que as pessoas cortam seus gastos rapidamente quando precisam.
As dicas podem ser facilmente enumeradas. Não abra esse negócio se você: 1- não possui uma rede ampla de contatos e proximidade com seu consumidor; 2- não tem capital suficiente para sustentar movimento baixo nos primeiros anos; 3- não gosta muito de bares; 4- não encontrou um bom ponto.
Talvez, para quem é novo no ramo, seja interessante montar um bar de bairro, pequeno, com o seu estilo, pra ver se você se adapta às exigências duras da vida de empresário do ramo.
Mankiw resume a visão dos economistas sobre o mercado acionário
Se Gregory Mankiw é muito bem treinado em algo esse algo pode ser a didática em economia. Ele resume muito bem os achados dos economistas sobre o mercado acionário dos últimos anos: i) o mercado processa informação rapidamente; ii) boa parte dos movimentos de preços não são facilmente explicáveis; iii) manter ações é uma boa estratégia; iv) diversificação é essencial; v) mesmo pequenos investidores devem investir globalmente.
O resumo é bom, mas é temerário ao dizer que assumir a volatilidade dos prêmios de risco e as ondas de otimismo e pessimismo de mercado significa admitir que os economistas ignoram o que move o mercado. Ora, assumir que os indivíduos são sempre os mesmos, congelados ou geneticamente determinados em suas preferências, é que seria uma posição ignorante.
As ações (stocks) refletem o lado humano da economia. Dinheiro sempre traz medo e esperança, alegria e tristeza. É o canal sentimental da economia, por mais frio que pareça falar do universo das moedas. E o ser humano varia, sim, e muito, conforme a cultura e o tempo. Quem tiver dúvida, basta lembrar-se da complexidade do século XX e de suas alternâncias de expectativas em relação à tecnologia, à cultura, à democracia, aos valores e à educação.
O resumo é bom, mas é temerário ao dizer que assumir a volatilidade dos prêmios de risco e as ondas de otimismo e pessimismo de mercado significa admitir que os economistas ignoram o que move o mercado. Ora, assumir que os indivíduos são sempre os mesmos, congelados ou geneticamente determinados em suas preferências, é que seria uma posição ignorante.
As ações (stocks) refletem o lado humano da economia. Dinheiro sempre traz medo e esperança, alegria e tristeza. É o canal sentimental da economia, por mais frio que pareça falar do universo das moedas. E o ser humano varia, sim, e muito, conforme a cultura e o tempo. Quem tiver dúvida, basta lembrar-se da complexidade do século XX e de suas alternâncias de expectativas em relação à tecnologia, à cultura, à democracia, aos valores e à educação.
quinta-feira, 16 de maio de 2013
Kelly e o seu gênio difícil
Há uma propriedade no sistema de apostas de Kelly que deixa qualquer um confuso. Quando estudamos uma distribuição binomial simples, como em jogos do tipo cara ou coroa, o número de caras ou coroas, conforme repetimos o experimento em várias rodadas sucessivas, se distribui de modo normal. Por exemplo, com 64 rodadas, temos 1/64 de chances de só termos caras ou outros 1/64 de termos só coroas. 6/64 de termos ao menos uma cara e outros 6/64 ao menos uma coroa. 15/64 de ao menos duas caras e 15/64 de duas coroas. E 20/64 de termos três caras e três coroas. Tudo parece simétrico e isso nos traz a ilusão de que o mundo de Kelly é igual. Mas não é.
Ainda no jogo de cara ou coroa, suponha que você aposte 20% de sua banca inicial de R$ 10,00. Se perder você cai pra R$ 8,00 e se ganhar sobe para R$ 12,00. Você joga um total de 6 rodadas e na sexta rodada você terá os seguintes resultados: R$ 2,62 (1/64 das vezes), R$ 3,93 (6/64), R$ 5,90 (15/64), R$ 8,85 (20/64), R$ 13,27 (15/64), R$ 19,91 (6/64) e R$ 29,86 (1/64). Se você somar tudo e dividir verá que o seu lucro médio é igual ao montante inicial apostado. Mas a mediana é inferior a média. Note que nesse exemplo 42/64 das vezes você terá prejuízo e apenas 22/64 terá lucro (aproximadamente 1/3 das vezes). A distribuição dos resultados de seu bankroll não é mais normal. O valor mediano é inferior a média, os valores engordam a esquerda e afinam a direita.
Como se um vento leste assoprasse. O interessante é que a cauda dos lucros máximos se alonga. É aí que se fazem os raros milionários. Mas a grande massa dos apostadores fica com prejuízos razoáveis e não vê a cor dos lucros. Incidindo comissão líquida sobre os ganhos tudo fica mais difícil, é claro. E não adianta, reforce-se, aumentar o número de jogos por temporada: é apenas fazer o vento soprar mais forte na direção contrária. Para 50 jogos, a taxa de sucesso cai pra 1/4 das vezes; para 100 jogos, vai pra 1/8; 200 jogos, 1/15; e pra 600 jogos cai pra menos de 1% de temporadas bem sucedidas.
Pra minimizar os efeitos, você deve reduzir o percentual de Kelly a ser reaplicado. Reduzindo de 20% pra 10%, a taxa de sucesso pra 50 jogos sobe pra 1/3, de 100 pra 3/10, de 200 pra 2/10 e de 600 pra 1/10. A vida fica mais tranquilo, mas nem por isso vira moleza.
Brincando de Montecarlo (10000 temporadas de 300 jogos), usando como parâmetros uma comissão líquida de 5% pra casa de apostas, um percentual de Kelly de 10% e uma acertabilidade de 20% a mais da cotação líquida (1,10-1,12; 1,50-1,55; 4,0-4,3, 10-11,8), 1/3 das vezes você terá lucro, 1/3 terá prejuízo de mais de 90% dos seu bankroll inicial e 1/12 terá lucros maiores do que 10x seu bankroll. Se você subir o percentual de Kelly pra 12%, o prejuízo de 90% passa a ser em 3/7 das vezes. E com 16% de Kelly o prejuízo de 90% passa de 2/3 das vezes. Nesse último caso, o lucro só vem em 1/6 das vezes.
Se você tiver coragem e apostar muito, sua comissão pode cair pra 2%. Mas é muito provável que sua acertabilidade, pela grande quantidade de apostas, também caia. Imaginando que seja reduzida pra 10%, um percentual de Kelly de 20% o lucro emerge menos de 1% das vezes. Reduzindo pra 12%, o lucro aparece no mesmo valor percentual, 12%, das temporadas e você leva pra casa pouco mais de 3% de chances de conseguir decuplicar seu capital inicial. Para dobrar suas temporadas com lucro, precisa reduzir o percentual apostado pra 8% e a vantagem é que provoca poucas alterações nas chances de decuplicação. A bom é que você reduz de 2/3 pra 1/3 as chances de temporadas com prejuízos maiores do que 90% do seu capital inicial. Reduzindo ainda mais o percentual aplicado, pra 5%, 1/3 das temporadas você chega no lucro e reduz ainda pouco a chance de decuplicar o capital (2,5%).
Ainda no jogo de cara ou coroa, suponha que você aposte 20% de sua banca inicial de R$ 10,00. Se perder você cai pra R$ 8,00 e se ganhar sobe para R$ 12,00. Você joga um total de 6 rodadas e na sexta rodada você terá os seguintes resultados: R$ 2,62 (1/64 das vezes), R$ 3,93 (6/64), R$ 5,90 (15/64), R$ 8,85 (20/64), R$ 13,27 (15/64), R$ 19,91 (6/64) e R$ 29,86 (1/64). Se você somar tudo e dividir verá que o seu lucro médio é igual ao montante inicial apostado. Mas a mediana é inferior a média. Note que nesse exemplo 42/64 das vezes você terá prejuízo e apenas 22/64 terá lucro (aproximadamente 1/3 das vezes). A distribuição dos resultados de seu bankroll não é mais normal. O valor mediano é inferior a média, os valores engordam a esquerda e afinam a direita.
Como se um vento leste assoprasse. O interessante é que a cauda dos lucros máximos se alonga. É aí que se fazem os raros milionários. Mas a grande massa dos apostadores fica com prejuízos razoáveis e não vê a cor dos lucros. Incidindo comissão líquida sobre os ganhos tudo fica mais difícil, é claro. E não adianta, reforce-se, aumentar o número de jogos por temporada: é apenas fazer o vento soprar mais forte na direção contrária. Para 50 jogos, a taxa de sucesso cai pra 1/4 das vezes; para 100 jogos, vai pra 1/8; 200 jogos, 1/15; e pra 600 jogos cai pra menos de 1% de temporadas bem sucedidas.
Pra minimizar os efeitos, você deve reduzir o percentual de Kelly a ser reaplicado. Reduzindo de 20% pra 10%, a taxa de sucesso pra 50 jogos sobe pra 1/3, de 100 pra 3/10, de 200 pra 2/10 e de 600 pra 1/10. A vida fica mais tranquilo, mas nem por isso vira moleza.
Brincando de Montecarlo (10000 temporadas de 300 jogos), usando como parâmetros uma comissão líquida de 5% pra casa de apostas, um percentual de Kelly de 10% e uma acertabilidade de 20% a mais da cotação líquida (1,10-1,12; 1,50-1,55; 4,0-4,3, 10-11,8), 1/3 das vezes você terá lucro, 1/3 terá prejuízo de mais de 90% dos seu bankroll inicial e 1/12 terá lucros maiores do que 10x seu bankroll. Se você subir o percentual de Kelly pra 12%, o prejuízo de 90% passa a ser em 3/7 das vezes. E com 16% de Kelly o prejuízo de 90% passa de 2/3 das vezes. Nesse último caso, o lucro só vem em 1/6 das vezes.
Se você tiver coragem e apostar muito, sua comissão pode cair pra 2%. Mas é muito provável que sua acertabilidade, pela grande quantidade de apostas, também caia. Imaginando que seja reduzida pra 10%, um percentual de Kelly de 20% o lucro emerge menos de 1% das vezes. Reduzindo pra 12%, o lucro aparece no mesmo valor percentual, 12%, das temporadas e você leva pra casa pouco mais de 3% de chances de conseguir decuplicar seu capital inicial. Para dobrar suas temporadas com lucro, precisa reduzir o percentual apostado pra 8% e a vantagem é que provoca poucas alterações nas chances de decuplicação. A bom é que você reduz de 2/3 pra 1/3 as chances de temporadas com prejuízos maiores do que 90% do seu capital inicial. Reduzindo ainda mais o percentual aplicado, pra 5%, 1/3 das temporadas você chega no lucro e reduz ainda pouco a chance de decuplicar o capital (2,5%).
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