quinta-feira, 16 de maio de 2013

Kelly e o seu gênio difícil

Há uma propriedade no sistema de apostas de Kelly que deixa qualquer um confuso. Quando estudamos uma distribuição binomial simples, como em jogos do tipo cara ou coroa, o número de caras ou coroas, conforme repetimos o experimento em várias rodadas sucessivas, se distribui de modo normal. Por exemplo, com 64 rodadas, temos 1/64 de chances de só termos caras ou outros 1/64 de termos só coroas. 6/64 de termos ao menos uma cara e outros 6/64 ao menos uma coroa. 15/64 de ao menos duas caras e 15/64 de duas coroas. E 20/64 de termos três caras e três coroas. Tudo parece simétrico e isso nos traz a ilusão de que o mundo de Kelly é igual. Mas não é.
Ainda no jogo de cara ou coroa, suponha que você aposte 20% de sua banca inicial de R$ 10,00. Se perder você cai pra R$ 8,00 e se ganhar sobe para R$ 12,00. Você joga um total de 6 rodadas e na sexta rodada você terá os seguintes resultados: R$ 2,62 (1/64 das vezes), R$ 3,93 (6/64), R$ 5,90 (15/64), R$ 8,85 (20/64), R$ 13,27 (15/64), R$ 19,91 (6/64) e R$ 29,86 (1/64). Se você somar tudo e dividir verá que o seu lucro médio é igual ao montante inicial apostado. Mas a mediana é inferior a média. Note que nesse exemplo 42/64 das vezes você terá prejuízo e apenas 22/64 terá lucro (aproximadamente 1/3 das vezes). A distribuição dos resultados de seu bankroll não é mais normal. O valor mediano é inferior a média, os valores engordam a esquerda e afinam a direita.
Como se um vento leste assoprasse. O interessante é que a cauda dos lucros máximos se alonga. É aí que se fazem os raros milionários. Mas a grande massa dos apostadores fica com prejuízos razoáveis e não vê a cor dos lucros. Incidindo comissão líquida sobre os ganhos tudo fica mais difícil, é claro. E não adianta, reforce-se, aumentar o número de jogos por temporada: é apenas fazer o vento soprar mais forte na direção contrária. Para 50 jogos, a taxa de sucesso cai pra 1/4 das vezes; para 100 jogos, vai pra 1/8; 200 jogos, 1/15; e pra 600 jogos cai pra menos de 1% de temporadas bem sucedidas.
Pra minimizar os efeitos, você deve reduzir o percentual de Kelly a ser reaplicado. Reduzindo de 20% pra 10%, a taxa de sucesso pra 50 jogos sobe pra 1/3, de 100 pra 3/10, de 200 pra 2/10 e de 600 pra 1/10. A vida fica mais tranquilo, mas nem por isso vira moleza.
Brincando de Montecarlo (10000 temporadas de 300 jogos), usando como parâmetros uma comissão líquida de 5% pra casa de apostas, um percentual de Kelly de 10% e uma acertabilidade de 20% a mais da cotação líquida (1,10-1,12; 1,50-1,55; 4,0-4,3, 10-11,8), 1/3 das vezes você terá lucro, 1/3 terá prejuízo de mais de 90% dos seu bankroll inicial e 1/12 terá lucros maiores do que 10x seu bankroll. Se você subir o percentual de Kelly pra 12%, o prejuízo de 90% passa a ser em 3/7 das vezes. E com 16% de Kelly o prejuízo de 90% passa de 2/3 das vezes. Nesse último caso, o lucro só vem em 1/6 das vezes.
Se você tiver coragem e apostar muito, sua comissão pode cair pra 2%. Mas é muito provável que sua acertabilidade, pela grande quantidade de apostas, também caia. Imaginando que seja reduzida pra 10%, um percentual de Kelly de 20% o lucro emerge menos de 1% das vezes. Reduzindo pra 12%, o lucro aparece no mesmo valor percentual, 12%, das temporadas e você leva pra casa pouco mais de 3% de chances de conseguir decuplicar seu capital inicial. Para dobrar suas temporadas com lucro, precisa reduzir o percentual apostado pra 8% e a vantagem é que provoca poucas alterações nas chances de decuplicação. A bom é que você reduz de 2/3 pra 1/3 as chances de temporadas com prejuízos maiores do que 90% do seu capital inicial. Reduzindo ainda mais o percentual aplicado, pra 5%, 1/3 das temporadas você chega no lucro e reduz ainda pouco a chance de decuplicar o capital (2,5%).

Nenhum comentário:

Postar um comentário